プレゼント交換を紙のくじで決めると、何回引き直しになる?

全員の名前を書いた紙を箱に入れ、決めた順に 1 人ずつ引きます。自分の名前を引いた人は、紙を箱に戻して引き直します。最後の人の番で自分の名前の紙しか残っていなければ、全員の紙を箱に戻して、最初から引き直します（この記事では「全員でやり直し」と呼びます）。

参加人数は 3・4・5・6・8・10・15・20・30 人で、それぞれ 100 万回まねました。紙はよく混ざっていて、だれもが残りの紙から同じ確率で引くものとしています。

数えたのは 2026年11月11日です。8 人までは、すべての引き方を数え上げて正確に求めた値とも突き合わせ、ずれが 0.3 ポイント以内であることを、このサイトの自動テストで確かめています。

だれかが自分の名前を引く確率は、3 人で 67%、4 人以上はどの人数でも 63% です。

人数が増えると、1 人 1 人が自分の名前を引く確率（1 ÷ 人数）は下がりますが、引く人も増えるので、だれか 1 人でも自分を引く確率はほとんど変わりません。だれも自分を引かない引き方は、数学では「完全順列（攪乱順列）」と呼ばれ、その割合は人数が増えるほど 1/e（約 37%）に近づきます。

全員でやり直しになるのは、最後に引く人の番で、自分の名前の紙しか残っていないときだけです。人数が多いほど起きにくく、30 人では 3% です。一方、だれかが自分の名前を引いて引き直す会は人数によらず 6 割を超えるので、引き直しの決まりは始める前に伝えておきます。

「だれかが自分の名前を引いたら、全員で引き直す」決まりにすると、1 回で決まるのは 10 人の会で 37%、決まるまでに全員で引く回数は平均 2.7 回です（人数が増えると e ≈ 2.72 回に近づきます）。3 回以上かかる会も 40% あります。

全員が引き終わってから一斉に紙を開くやり方も、だれかが自分を引いていたら全員でやり直すことになるので、この決まりと同じ回数がかかります。

「2 人で贈り合う組」は、A さんが B さんに、B さんが A さんに贈る組です。だれに贈るかを内緒にしていても、当日に交換するとき 2 人のあいだだけで完結します。

当日、受け取った人が次に自分の相手へ渡していく（リレーで回す）なら、全員が 1 つの輪になっていないと途中で止まります。紙のくじで 1 つの輪になるのは、10 人で 27%、30 人では 9% です。輪がいくつかに分かれたときは、輪ごとに最初の人を決めて、輪ごとに回します。

引き直しのやり方は、厳密には、すべての組み合わせを同じ確率では選びません。4 人の会で 2 組の贈り合いに分かれる割合は、どの組み合わせも同じ確率なら 33.3%（9 通りのうち 3 通り）ですが、このやり方を正確に数えると 32.3% でした。差はわずかで、人数が増えるとほとんどなくなります（8 人では、2 人で贈り合う組がある割合が、同じ確率なら 39.4%、このやり方で 39.2%。1 つの輪になる割合は 34.0% と 34.1%）。

• 自分の名前を引いたとき：紙を箱に戻して、よく混ぜてから引き直します。
• 最後の人に自分の名前しか残らなかったとき：全員の紙を戻して最初から引き直すことを、始める前に伝えておきます。
• 当日の渡し方：リレーで回すなら、輪が分かれたときにどう回すかも決めておきます。
• 2 人で贈り合う組を避けたいか：紙のくじでは、6 人以上でも 39% ほどの会でできます。避けたいなら、次の「はじめから 1 つの輪にする方法」を使います。

全員の名前をでたらめな順に一列に並べて、それぞれ次の人に贈る（最後の人は最初の人に贈る）と、自分に当たることも、輪が分かれることもありません。3 人以上なら、2 人だけで贈り合う組もできません。

このサイトのプレゼント交換くじは、この並べ方をランダムに作ります。スマホを回して 1 人ずつ自分の相手を確かめられるので、幹事も含めて、ほかの人の相手を知らないまま決められます。

• 紙がよく混ざっていない、引く前に紙の形で見当がつく、といったことがあると、ここの数字どおりにはなりません。
• 引き直しの回数と、全員でやり直しになる会・組み合わせの形の割合は、100 万回まねた結果です。だれかが自分の名前を引く確率と、全員で引き直す決まりの回数は、すべての引き方から計算した値です。

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